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Le C est un langage de programmation impératif conçu pour la programmation système. Inventé au début des années 1970 avec UNIX, C est devenu un des langages les plus utilisés. De nombreux langages plus modernes se sont inspirés de sa syntaxe. Il privilégie la performance sur la simplicité de la syntaxe. [En savoir plus]
Le C++ est un langage de programmation impératif. Inventé au début des années 1980, il apporte de nouveaux concepts au langage C (les objets, la généricité), le modernise et lui ajoute de nombreuses bibliothèques. C++ est devenu l'un des langages les plus utilisés. Sa performance et sa richesse en font le langage de prédilection pour les concours. [En savoir plus]
Pascal est un langage de programmation impératif inventé dans les années 1970 dans un but d'enseignement. Quoiqu'encore utilisé à cette fin, l'absence de bibliothèque standard en limite son utilisation malgré une grande efficacité. Sa syntaxe a été reprise par d'autres langages plus modernes avec plus ou moins de succès. [En savoir plus]


Remarque : Les cours pour ce langage ne sont disponibles que jusqu'au chapitre 4, « Lecture de l'entrée ». Les corrections sont toutefois toujours fournies.
OCaml est un langage de programmation fonctionnel inventé au milieu des années 1990. Il permet aussi une programmation impérative ou objet. Il permet d'écrire des programmes courts et faciles à vérifier et est ainsi utilisé pour certains systèmes embarqués très sensibles comme ceux des avions. Il est utilisé dans l'enseignement en classes préparatoires aux grandes écoles. [En savoir plus]


Remarque : Les cours pour ce langage ne sont disponibles que jusqu'au chapitre 4, « Lecture de l'entrée ». Les corrections sont toutefois toujours fournies.
Java est un langage de programmation impératif et orienté objet. Inventé au début des années 1990, il reprend en grande partie la syntaxe du langage C++ tout en la simplifiant, au prix d'une performance un peu moins bonne. S'exécutant dans une machine virtuelle, il assure une grande portabilité et ses très nombreuses bibliothèques en font un langage très utilisé. On lui reproche toutefois la « verbosité » de son code. [En savoir plus]


Remarque : Pour un débutant souhaitant apprendre Java, nous conseillons fortement de commencer par JavaScool, plus facile à apprendre, bien que fortement similaire.
Java's Cool (alias JavaScool) est conçu spécifiquement pour l'apprentissage des bases de la programmation. Il reprend en grande partie la syntaxe de Java sur laquelle il s'appuie, mais la simplifie pour un apprentissage plus aisé. La plateforme JavaScool est accompagnée d'un ensemble d'activités diverses de découverte de la programmation. [En savoir plus]
Python est un langage de programmation impératif inventé à la fin des années 1980. Il permet une programmation orientée objet et admet une syntaxe concise et claire qui en font un langage très bien adapté aux débutants. Étant un langage interprété, il n'est cependant pas aussi performant que d'autres langages. [En savoir plus]

Introduction

Le sujet original peut être trouvé à cette adresse, via l'APMEP.

Modifications effectuées :

  • la partie B a été ajoutée.

Partie A

  1. On considère l'algorithme suivant
    Entrée Saisir un réel strictement positif non nul $a$
    Saisir un réel strictemenl positif non nul $b$ ($b > a$)
    Saisir un entier naturel non nul $N$
    Initialisation Affecter à $u$ la valeur $a$
    Affecter à $v$ la valeur $b$
    Affecter à $n$ la valeur 0
    Traitement TANTQUE $n < N$
    Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
    Affecter à $u$ la valeur $\frac{a+b}{2}$
    Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
    Affecter à $a$ la valeur $u$
    Affecter à $b$ la valeur $v$
    Sortie Afficher $u$, afficher $v$.

    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a=4$, $b=9$ et $N=2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.

    nabuv
    049  
    1    
    2    

    Attention : valeurs non mémorisées pour le moment, système d'évaluation temporaire.

    Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$.
    On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=a$, $v_0=b$ et, pour tout entier naturel $n$ :

    $$ u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2} $$ et $$ v_{n+1}=\sqrt{\frac{u_n^2+v_n^2}{2}} $$
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n>0$ et $v_n>0$.
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$ v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\left(\frac{u_n-v_n}{2}\right)^2 $$ En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $$ u_n \leq v_n. $$
    1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
    2. Comparer $v_{n+1}^2$ et $v_{n}^2$. En déduire le sens de variation de la suite $(v_n)$.
  2. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes.

Partie B

Non demandé au BAC

Toutes les questions de cette partie sont indépendantes : elles peuvent être traitées en admettant les résultats des questions précédentes et de la partie A.

  1. Montrer que $v_{n+1}^2-u_{n+1}^2 = \dfrac{1}{4} (v_n-u_n)^2$.
    1. Montrer que pour tout $A$ et $B$, si $0 \lt A \lt B$ alors $(B-A)^2 \lt B^2 - A^2$.
    2. En déduire que $v_{n+1}-u_{n+1} \lt \dfrac{1}{2} (v_n-u_n)$.
  2. Prouver par récurrence que pour tout $n\ge0$, $v_n-u_n \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n (b-a)$.
  3. En déduire que $u$ et $v$ ont la même limite.
  4. Donner un algorithme qui calcule et affiche cette limite à une précision de $10^{-5}$ près.
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