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Le C est un langage de programmation impératif conçu pour la programmation système. Inventé au début des années 1970 avec UNIX, C est devenu un des langages les plus utilisés. De nombreux langages plus modernes se sont inspirés de sa syntaxe. Il privilégie la performance sur la simplicité de la syntaxe. [En savoir plus]
Le C++ est un langage de programmation impératif. Inventé au début des années 1980, il apporte de nouveaux concepts au langage C (les objets, la généricité), le modernise et lui ajoute de nombreuses bibliothèques. C++ est devenu l'un des langages les plus utilisés. Sa performance et sa richesse en font le langage de prédilection pour les concours. [En savoir plus]
Pascal est un langage de programmation impératif inventé dans les années 1970 dans un but d'enseignement. Quoiqu'encore utilisé à cette fin, l'absence de bibliothèque standard en limite son utilisation malgré une grande efficacité. Sa syntaxe a été reprise par d'autres langages plus modernes avec plus ou moins de succès. [En savoir plus]


Remarque : Les cours pour ce langage ne sont disponibles que jusqu'au chapitre 4, « Lecture de l'entrée ». Les corrections sont toutefois toujours fournies.
OCaml est un langage de programmation fonctionnel inventé au milieu des années 1990. Il permet aussi une programmation impérative ou objet. Il permet d'écrire des programmes courts et faciles à vérifier et est ainsi utilisé pour certains systèmes embarqués très sensibles comme ceux des avions. Il est utilisé dans l'enseignement en classes préparatoires aux grandes écoles. [En savoir plus]


Remarque : Les cours pour ce langage ne sont disponibles que jusqu'au chapitre 4, « Lecture de l'entrée ». Les corrections sont toutefois toujours fournies.
Java est un langage de programmation impératif et orienté objet. Inventé au début des années 1990, il reprend en grande partie la syntaxe du langage C++ tout en la simplifiant, au prix d'une performance un peu moins bonne. S'exécutant dans une machine virtuelle, il assure une grande portabilité et ses très nombreuses bibliothèques en font un langage très utilisé. On lui reproche toutefois la « verbosité » de son code. [En savoir plus]


Remarque : Pour un débutant souhaitant apprendre Java, nous conseillons fortement de commencer par JavaScool, plus facile à apprendre, bien que fortement similaire.
Java's Cool (alias JavaScool) est conçu spécifiquement pour l'apprentissage des bases de la programmation. Il reprend en grande partie la syntaxe de Java sur laquelle il s'appuie, mais la simplifie pour un apprentissage plus aisé. La plateforme JavaScool est accompagnée d'un ensemble d'activités diverses de découverte de la programmation. [En savoir plus]
Python est un langage de programmation impératif inventé à la fin des années 1980. Il permet une programmation orientée objet et admet une syntaxe concise et claire qui en font un langage très bien adapté aux débutants. Étant un langage interprété, il n'est cependant pas aussi performant que d'autres langages. [En savoir plus]

Introduction

Le sujet original peut être trouvé à cette adresse, via l'APMEP.


Partie A

On considère l'algorithme suivant :


Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nul N.

Traitement

Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N −1
   Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin pour

Sortie

Afficher U

Quel est l’affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 3u_n−2n+3$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq n$.
    2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
  2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
  3. Soit la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n − n + 1$.
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n − 1$.
  4. Soit $p$ un entier naturel non nul
    1. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$, $u_n \geq 10^p$ ?
      On s’intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
    2. Justifier que $n_0 \leq 3p$.
    3. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
    4. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$ , on ait $u_n \geq 10^p$.
      Aller faire évaluer votre algorithme
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