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Le C est un langage de programmation impératif conçu pour la programmation système. Inventé au début des années 1970 avec UNIX, C est devenu un des langages les plus utilisés. De nombreux langages plus modernes se sont inspirés de sa syntaxe. Il privilégie la performance sur la simplicité de la syntaxe. [En savoir plus]
Le C++ est un langage de programmation impératif. Inventé au début des années 1980, il apporte de nouveaux concepts au langage C (les objets, la généricité), le modernise et lui ajoute de nombreuses bibliothèques. C++ est devenu l'un des langages les plus utilisés. Sa performance et sa richesse en font le langage de prédilection pour les concours. [En savoir plus]
Pascal est un langage de programmation impératif inventé dans les années 1970 dans un but d'enseignement. Quoiqu'encore utilisé à cette fin, l'absence de bibliothèque standard en limite son utilisation malgré une grande efficacité. Sa syntaxe a été reprise par d'autres langages plus modernes avec plus ou moins de succès. [En savoir plus]


Remarque : Les cours pour ce langage ne sont disponibles que jusqu'au chapitre 4, « Lecture de l'entrée ». Les corrections sont toutefois toujours fournies.
OCaml est un langage de programmation fonctionnel inventé au milieu des années 1990. Il permet aussi une programmation impérative ou objet. Il permet d'écrire des programmes courts et faciles à vérifier et est ainsi utilisé pour certains systèmes embarqués très sensibles comme ceux des avions. Il est utilisé dans l'enseignement en classes préparatoires aux grandes écoles. [En savoir plus]


Remarque : Les cours pour ce langage ne sont disponibles que jusqu'au chapitre 4, « Lecture de l'entrée ». Les corrections sont toutefois toujours fournies.
Java est un langage de programmation impératif et orienté objet. Inventé au début des années 1990, il reprend en grande partie la syntaxe du langage C++ tout en la simplifiant, au prix d'une performance un peu moins bonne. S'exécutant dans une machine virtuelle, il assure une grande portabilité et ses très nombreuses bibliothèques en font un langage très utilisé. On lui reproche toutefois la « verbosité » de son code. [En savoir plus]


Remarque : Pour un débutant souhaitant apprendre Java, nous conseillons fortement de commencer par JavaScool, plus facile à apprendre, bien que fortement similaire.
Java's Cool (alias JavaScool) est conçu spécifiquement pour l'apprentissage des bases de la programmation. Il reprend en grande partie la syntaxe de Java sur laquelle il s'appuie, mais la simplifie pour un apprentissage plus aisé. La plateforme JavaScool est accompagnée d'un ensemble d'activités diverses de découverte de la programmation. [En savoir plus]
Python est un langage de programmation impératif inventé à la fin des années 1980. Il permet une programmation orientée objet et admet une syntaxe concise et claire qui en font un langage très bien adapté aux débutants. Étant un langage interprété, il n'est cependant pas aussi performant que d'autres langages. [En savoir plus]

Introduction

Le sujet original peut être trouvé à cette adresse, via l'APMEP.

Modifications effectuées :

  • la syntaxe utilisée pour affecter une valeur à une variable a été modifiée, afin de la rendre plus compréhensible.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté.

À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.

  1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ?
  2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel rand(1, 50) permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle $[1; 50]$.
    Variables $a,b,c,d,e$ sont des variables du type entier
    Initialisation Affecter à $a$ la valeur 0.
    Affecter à $b$ la valeur 0.
    Affecter à $c$ la valeur 0.
    Affecter à $d$ la valeur 0.
    Affecter à $e$ la valeur 0.
    Traitement Tant que $(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou
    $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou
    $(d = e)$
    Début du tant que
    Affecter à $a$ la valeur rand(1, 50)
    Affecter à $b$ la valeur rand(1, 50)
    Affecter à $c$ la valeur rand(1, 50)
    Affecter à $d$ la valeur rand(1, 50)
    Affecter à $e$ la valeur rand(1, 50)
    Fin du tant que
    Sortie Afficher $a,b,c,d,e$
    1. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :
      • $L_1 = \{2, 11, 44, 2, 15\}$
      • $L_2 = \{8, 17, 41, 34, 6\}$
      • $L_3 = \{12, 17, 23, 17, 50\}$
      • $L_4 = \{45, 19, 43, 21, 18\}$
    2. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
  3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.
  4. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course.
    1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.
    2. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
      • il a été contrôlé 5 fois exactement ;
      • il n’a pas été contrôlé ;
      • il a été contrôlé au moins une fois.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on appelle T l’évènement : "le contrôle est positif", et d’après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$.

On appelle D l’évènement : "le coureur est dopé".

Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100%, on sait que :

  • si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ;
  • si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1 % des cas.

  1. Calculer $P(D)$.
  2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé ?
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