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Le C est un langage de programmation impératif conçu pour la programmation système. Inventé au début des années 1970 avec UNIX, C est devenu un des langages les plus utilisés. De nombreux langages plus modernes se sont inspirés de sa syntaxe. Il privilégie la performance sur la simplicité de la syntaxe. [En savoir plus]
Le C++ est un langage de programmation impératif. Inventé au début des années 1980, il apporte de nouveaux concepts au langage C (les objets, la généricité), le modernise et lui ajoute de nombreuses bibliothèques. C++ est devenu l'un des langages les plus utilisés. Sa performance et sa richesse en font le langage de prédilection pour les concours. [En savoir plus]
Pascal est un langage de programmation impératif inventé dans les années 1970 dans un but d'enseignement. Quoiqu'encore utilisé à cette fin, l'absence de bibliothèque standard en limite son utilisation malgré une grande efficacité. Sa syntaxe a été reprise par d'autres langages plus modernes avec plus ou moins de succès. [En savoir plus]


Remarque : Les cours pour ce langage ne sont disponibles que jusqu'au chapitre 4, « Lecture de l'entrée ». Les corrections sont toutefois toujours fournies.
OCaml est un langage de programmation fonctionnel inventé au milieu des années 1990. Il permet aussi une programmation impérative ou objet. Il permet d'écrire des programmes courts et faciles à vérifier et est ainsi utilisé pour certains systèmes embarqués très sensibles comme ceux des avions. Il est utilisé dans l'enseignement en classes préparatoires aux grandes écoles. [En savoir plus]


Remarque : Les cours pour ce langage ne sont disponibles que jusqu'au chapitre 4, « Lecture de l'entrée ». Les corrections sont toutefois toujours fournies.
Java est un langage de programmation impératif et orienté objet. Inventé au début des années 1990, il reprend en grande partie la syntaxe du langage C++ tout en la simplifiant, au prix d'une performance un peu moins bonne. S'exécutant dans une machine virtuelle, il assure une grande portabilité et ses très nombreuses bibliothèques en font un langage très utilisé. On lui reproche toutefois la « verbosité » de son code. [En savoir plus]


Remarque : Pour un débutant souhaitant apprendre Java, nous conseillons fortement de commencer par JavaScool, plus facile à apprendre, bien que fortement similaire.
Java's Cool (alias JavaScool) est conçu spécifiquement pour l'apprentissage des bases de la programmation. Il reprend en grande partie la syntaxe de Java sur laquelle il s'appuie, mais la simplifie pour un apprentissage plus aisé. La plateforme JavaScool est accompagnée d'un ensemble d'activités diverses de découverte de la programmation. [En savoir plus]
Python est un langage de programmation impératif inventé à la fin des années 1980. Il permet une programmation orientée objet et admet une syntaxe concise et claire qui en font un langage très bien adapté aux débutants. Étant un langage interprété, il n'est cependant pas aussi performant que d'autres langages. [En savoir plus]

Contexte

Les codes correcteurs d'erreurs permettent de transmettre des messages sur des canaux de transmission bruités et de retrouver dans certains cas à l'arrivée les messages initialement envoyés en corrigeant les éventuelles erreurs apparues pendant la transmission.

Les codes linéaires binaires ont la propriété de transmettre des messages binaires (tableau de 0 et de 1) qui sont linéairement liés les uns aux autres.

Un tel code est défini par une matrice G de taille n par k. Ce code assure la transmission de messages de taille k en les transformant en des messages plus longs de taille n. Les bits ajoutés permettront de corriger des erreurs lors de la transmission.

Concrètement, si l'on souhaite transmettre un message V de taille k, le code transmettra le message G*V (où * dénote le produit matriciel sur les bits) de taille n. Puisqu'il est possible de demander l'envoi de n'importe quel mot binaire en entrée, il y a au plus 2^k messages possibles (éventuellement moins si la matrice G n'est pas de rang k).

Un paramètre de première importance pour mesurer l'efficacité d'un tel code est sa distance minimale. Cette distance représente le nombre minimum de bits qui différent entre deux mots différents obtenus de cette manière.

Il est simple de montrer que du fait que le code est linéaire, cette distance peut s'exprimer autrement. La distance minimale est donc également le nombre minimum de bits `1` dans les mots de taille n, sans considérer le mot ne contenant que des 0.

Enoncé

Étant donné une matrice G binaire de taille n lignes par k colonnes, estimer quel est le nombre minimum de 1 dans un vecteur G*V, avec V vecteur binaire de taille k contenant au moins un `1`. Attention de bien noter qu'il s'agit d'un produit entre une matrice et un vecteur binaires. Ceci veut dire que les opérations + et × utilisées lors du calcul de ce produit sont les opérations correspondantes binaires, à savoir respectivement le "ou exclusif" et le "et".

Limites de temps et de mémoire (Python)

  • Temps : 1 s sur une machine à 1 GHz.
  • Mémoire : 8 000 ko.

Entrée

L'entrée donne sur une première ligne les paramètres n et k, séparés par une espace.

Ensuite se trouve la matrice G, une ligne par ligne et les colonnes séparées par des espaces. Les coefficients de cette matrice ne peuvent être que 1 ou 0.

Sortie

La sortie du programme est l'entier représentant le nombre minimum de 1 dans un vecteur G*V, où V est un vecteur binaire de taille k qui contient au moins un `1`. Cette valeur sera suivie d'un passage à la ligne.

Exemples

Exemple 1

entrée :

8 4
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 1 1

sortie :

4

Exemple 2

entrée :

6 4
0 1 0 1
1 0 1 0
0 0 1 1
1 1 0 0
1 0 0 1
0 1 1 0

sortie :

0

Exemple 3

entrée :

4 2
1 1
0 0
1 1
0 0

sortie :

0

Commentaires

Squelettes de codes :

[GROUPFULL:skeleton]
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